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Exercice 6D

Exercice sans calculatrice

Enoncé :

Considérons le montage électrique suivant, comprenant :

. . . - un générateur de tension constante continue E = 12 V ;

. . . - une résistance R = 100 Ω ;

. . . - un interrupteur K ;

. . . - un condensateur de capacité C.

Le condensateur étant déchargé, on ferme l'interrupteur à t = 0. Un système d'acquisition permet d'enregistrer les graphes des tensions E et u_c en fonction du temps. On obtient les courbes du graphique suivant.

. . . Aide au calcul : . . . 0,37 . 12 ≈ 4,4 . . . 0,63 . 12 ≈ 7,6 . . . π² ≈ 10.

1. Indiquer les branchements du système d'acquisition pour avoir sur la voie 1 la tension E, et sur la voie 2 la tension u_c.

2. U et τ étant des constantes, la tension u_C est telle que : u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)]

2.a. Déterminer graphiquement U.

2.b. Nommer τ. Déterminer graphiquement la valeur de τ.

2.c. Que représente 5 τ ?

3.a. Etablir l'équation différentielle donnant l'évolution de la tension u_C lors de la charge.

3.b. Montrer que u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)] est bien une solution de cette équation différentielle. Exprimer U et τ en fonction des grandeurs caractéristiques du montage.

3.c. Vérifier la dimension de τ par une analyse dimensionnelle.

4. La capacité C du condensateur est : C = 10 µF.

4.a. A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 3.a., déterminer la valeur initiale de la dérivée (`(du_C)/(dt)`)₀.

4.b. En appliquant la méthode d'Euler, calculer la valeur de la tension u_C à la date t = 0,50 ms.

4.c. En appliquant la méthode d'Euler avec un pas Δt = 0,50 ms, compléter le tableau suivant :

t ( ms )
0

0,5

1

u_C ( V )
0

`(du_C)/(dt)` ( V.s^-1 )

4.d. Porter les points calculés sur le graphique 1. Conclusion ?

Solution :

1. Branchements des voies 1 et 2 et de la masse du système d'acquisition :

2.a. La tension u_C est telle que : u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)]

. . . Si t —> ∞ . . . alors exp(-`t/τ`) —> 0. . . et u_C —> U

U est égal à la valeur de u_C lorsque t —> ∞

D'après le graphique 1, on obtient : U = 12 V.

2.b. τ est la constante de temps du dipôle RC.

t = τ lorsque 63 % de la charge du condensateur est réalisée :

. . . D'où : . . . τ = 1,0 ms.

2.c. . . . 5 τ est le temps au bout duquel 99 % de la charge du condensateur est réalisée.

3.a. Choisissons les orientations suivantes :

L'additivité des tensions s'écrit : . . . u_C + u_R = E. . . ( 1 )

La loi d'Ohm s'écrit : . . . u_R = R . i

La relation charge-intenité s'écrit : . . . i = `(dq)/(dt)`

La relation charge-tension s'écrit : . . . q = C .u_C

La loi d'Ohm donne : . . . u_R = R . `(dq)/(dt)` = R . C . `(du_C)/(dt)`

La relation ( 1 ) donne alors :

u_C + R . C . `(du_C)/(dt)` = E. . . ( 2 )

3.b. Si la tension u_C est telle que : u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)];

. . . alors, . . . `(du_C)/(dt)` = + `U/(τ)` . exp(-`t/τ`)

. . . D'où : . . . u_C + R . C . `(du_C)/(dt)` = U [ 1 - exp(-`t/τ`)] + R . C .`U/(τ)` . exp(-`t/τ`) = U - U exp(-`t/τ`) + U .`(R*C)/(τ)` . exp(-`t/τ`)

Comme cette relation doit être vraie quelque soit t, on obtient 2 égalités :

U = E. . . et . . . τ = R.C

3.c. A partir de la relation ( 2 ), on peut écrire :

. . . [u_C] = [R . C] . `([u_C])/([t])`

. . . D'où : . . . [R . C] = [t] = T

4.a. L'équation ( 2 ) donne :

R . C . `(du_C)/(dt)` = E - u_C

. . . D'où :

`(du_C)/(dt)` = `(E - u_C)/(RC)`. . . ( 3 )

Or, à t = 0, u_C = 0, donc (`(du_C)/(dt)`)₀ = `(E - 0)/(RC)` = `E/(RC)`

. . . A.N. : . . . (`(du_C)/(dt)`)₀ = `(12)/(1*10^-3)` = 12 . 10³ V.s^-1.

4.b. Sachant que u_C(t + Δt) = u_C(t) + `(du_C)/(dt)` . Δt

on obtient : u_C(Δt) = u_C(0) + `(du_C)/(dt)` . Δt

. . . A.N. : . . . u_C(Δt) = 0 + 12 . 10³ . 0,50 . 10^-3 = 6 V.

4.c. En poursuivant de la même manière, on obtient le tableau :

t ( ms )
0

0,5

1

u_C ( V )
0

6

9

`(du_C)/(dt)` ( V.s^-1 )
12 . 10³

6 . 10³

3 . 10³

4.d. Portons les 3 valeurs de u_C sur le graphique 1 :

Les 3 points obtenus étant relativement éloignés de la courbe u_C(t), on peut remarquer qu'avec le pas choisi, la méthode d'Euler donne une approche assez grossière de cette courbe.

Remarque : Avec un pas plus petit (Δt = 0,25 ms ou Δt = 0,10 ms) les écarts entre les valeurs calculées par la méthode d'Euler et celles mesurées expérimentalement, auraient été plus petits.

t ( ms )	0	0,5	1
u_C ( V )	0	6	9
`(du_C)/(dt)` ( V.s^-1 )	12 . 10³	6 . 10³	3 . 10³

Exercice 6D

Exercice sans calculatrice

Enoncé :

Considérons le montage électrique suivant, comprenant :

. . . - un générateur de tension constante continue E = 12 V ;

. . . - une résistance R = 100 Ω ;

. . . - un interrupteur K ;

. . . - un condensateur de capacité C.

Le condensateur étant déchargé, on ferme l'interrupteur à t = 0. Un système d'acquisition permet d'enregistrer les graphes des tensions E et uc en fonction du temps. On obtient les courbes du graphique suivant.

. . . Aide au calcul : . . . 0,37 . 12 ≈ 4,4 . . . 0,63 . 12 ≈ 7,6 . . . π2 ≈ 10.

1. Indiquer les branchements du système d'acquisition pour avoir sur la voie 1 la tension E, et sur la voie 2 la tension uc.

2. U et τ étant des constantes, la tension uC est telle que : uC = U [ 1 - exp(-`t/τ`)]

2.a. Déterminer graphiquement U.

2.b. Nommer τ. Déterminer graphiquement la valeur de τ.

2.c. Que représente 5 τ ?

3.a. Etablir l'équation différentielle donnant l'évolution de la tension uC lors de la charge.

3.b. Montrer que uC = U [ 1 - exp(-`t/τ`)] est bien une solution de cette équation différentielle. Exprimer U et τ en fonction des grandeurs caractéristiques du montage.

3.c. Vérifier la dimension de τ par une analyse dimensionnelle.

4. La capacité C du condensateur est : C = 10 µF.

4.a. A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 3.a., déterminer la valeur initiale de la dérivée (`(du_C)/(dt)`)0.

4.b. En appliquant la méthode d'Euler, calculer la valeur de la tension uC à la date t = 0,50 ms.

4.c. En appliquant la méthode d'Euler avec un pas Δt = 0,50 ms, compléter le tableau suivant :

t ( ms ) 0 0,5 1 uC ( V ) 0 `(du_C)/(dt)` ( V.s-1 )

4.d. Porter les points calculés sur le graphique 1. Conclusion ?

Solution :

1. Branchements des voies 1 et 2 et de la masse du système d'acquisition :

2.a. La tension uC est telle que : uC = U [ 1 - exp(-`t/τ`)]

. . . Si t —> ∞ . . . alors exp(-`t/τ`) —> 0. . . et uC —> U

U est égal à la valeur de uC lorsque t —> ∞

D'après le graphique 1, on obtient : U = 12 V.

2.b. τ est la constante de temps du dipôle RC.

t = τ lorsque 63 % de la charge du condensateur est réalisée :

. . . D'où : . . . τ = 1,0 ms.

2.c. . . . 5 τ est le temps au bout duquel 99 % de la charge du condensateur est réalisée.

3.a. Choisissons les orientations suivantes :

L'additivité des tensions s'écrit : . . . uC + uR = E. . . ( 1 )

La loi d'Ohm s'écrit : . . . uR = R . i

La relation charge-intenité s'écrit : . . . i = `(dq)/(dt)`

La relation charge-tension s'écrit : . . . q = C .uC

La loi d'Ohm donne : . . . uR = R . `(dq)/(dt)` = R . C . `(du_C)/(dt)`

La relation ( 1 ) donne alors :

uC + R . C . `(du_C)/(dt)` = E. . . ( 2 )

3.b. Si la tension uC est telle que : uC = U [ 1 - exp(-`t/τ`)];

. . . alors, . . . `(du_C)/(dt)` = + `U/(τ)` . exp(-`t/τ`)

. . . D'où : . . . uC + R . C . `(du_C)/(dt)` = U [ 1 - exp(-`t/τ`)] + R . C .`U/(τ)` . exp(-`t/τ`) = U - U exp(-`t/τ`) + U .`(R*C)/(τ)` . exp(-`t/τ`)

Comme cette relation doit être vraie quelque soit t, on obtient 2 égalités :

U = E. . . et . . . τ = R.C

3.c. A partir de la relation ( 2 ), on peut écrire :

. . . [uC] = [R . C] . `([u_C])/([t])`

. . . D'où : . . . [R . C] = [t] = T

4.a. L'équation ( 2 ) donne :

R . C . `(du_C)/(dt)` = E - uC

. . . D'où :

`(du_C)/(dt)` = `(E - u_C)/(RC)`. . . ( 3 )

Or, à t = 0, uC = 0, donc (`(du_C)/(dt)`)0 = `(E - 0)/(RC)` = `E/(RC)`

. . . A.N. : . . . (`(du_C)/(dt)`)0 = `(12)/(1*10^-3)` = 12 . 103 V.s-1.

4.b. Sachant que uC(t + Δt) = uC(t) + `(du_C)/(dt)` . Δt

on obtient : uC(Δt) = uC(0) + `(du_C)/(dt)` . Δt

. . . A.N. : . . . uC(Δt) = 0 + 12 . 103 . 0,50 . 10-3 = 6 V.

4.c. En poursuivant de la même manière, on obtient le tableau :

t ( ms ) 0 0,5 1 uC ( V ) 0 6 9 `(du_C)/(dt)` ( V.s-1 ) 12 . 103 6 . 103 3 . 103

4.d. Portons les 3 valeurs de uC sur le graphique 1 :

Les 3 points obtenus étant relativement éloignés de la courbe uC(t), on peut remarquer qu'avec le pas choisi, la méthode d'Euler donne une approche assez grossière de cette courbe.

Remarque : Avec un pas plus petit (Δt = 0,25 ms ou Δt = 0,10 ms) les écarts entre les valeurs calculées par la méthode d'Euler et celles mesurées expérimentalement, auraient été plus petits.

Le condensateur étant déchargé, on ferme l'interrupteur à t = 0. Un système d'acquisition permet d'enregistrer les graphes des tensions E et u_c en fonction du temps. On obtient les courbes du graphique suivant.

. . . Aide au calcul : . . . 0,37 . 12 ≈ 4,4 . . . 0,63 . 12 ≈ 7,6 . . . π² ≈ 10.

1. Indiquer les branchements du système d'acquisition pour avoir sur la voie 1 la tension E, et sur la voie 2 la tension u_c.

2. U et τ étant des constantes, la tension u_C est telle que : u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)]

3.a. Etablir l'équation différentielle donnant l'évolution de la tension u_C lors de la charge.

3.b. Montrer que u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)] est bien une solution de cette équation différentielle. Exprimer U et τ en fonction des grandeurs caractéristiques du montage.

4.a. A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 3.a., déterminer la valeur initiale de la dérivée (`(du_C)/(dt)`)₀.

4.b. En appliquant la méthode d'Euler, calculer la valeur de la tension u_C à la date t = 0,50 ms.

t ( ms )
0

0,5

1

u_C ( V )
0

`(du_C)/(dt)` ( V.s^-1 )

2.a. La tension u_C est telle que : u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)]

. . . Si t —> ∞ . . . alors exp(-`t/τ`) —> 0. . . et u_C —> U

U est égal à la valeur de u_C lorsque t —> ∞

L'additivité des tensions s'écrit : . . . u_C + u_R = E. . . ( 1 )

La loi d'Ohm s'écrit : . . . u_R = R . i

La relation charge-tension s'écrit : . . . q = C .u_C

La loi d'Ohm donne : . . . u_R = R . `(dq)/(dt)` = R . C . `(du_C)/(dt)`

u_C + R . C . `(du_C)/(dt)` = E. . . ( 2 )

3.b. Si la tension u_C est telle que : u_C = U [ 1 - exp(-`t/τ`)];

. . . D'où : . . . u_C + R . C . `(du_C)/(dt)` = U [ 1 - exp(-`t/τ`)] + R . C .`U/(τ)` . exp(-`t/τ`) = U - U exp(-`t/τ`) + U .`(R*C)/(τ)` . exp(-`t/τ`)

. . . [u_C] = [R . C] . `([u_C])/([t])`

R . C . `(du_C)/(dt)` = E - u_C

Or, à t = 0, u_C = 0, donc (`(du_C)/(dt)`)₀ = `(E - 0)/(RC)` = `E/(RC)`

. . . A.N. : . . . (`(du_C)/(dt)`)₀ = `(12)/(1*10^-3)` = 12 . 10³ V.s^-1.

4.b. Sachant que u_C(t + Δt) = u_C(t) + `(du_C)/(dt)` . Δt

on obtient : u_C(Δt) = u_C(0) + `(du_C)/(dt)` . Δt

. . . A.N. : . . . u_C(Δt) = 0 + 12 . 10³ . 0,50 . 10^-3 = 6 V.

t ( ms )
0

0,5

1

u_C ( V )
0

6

9

`(du_C)/(dt)` ( V.s^-1 )
12 . 10³

6 . 10³

3 . 10³

4.d. Portons les 3 valeurs de u_C sur le graphique 1 :

Les 3 points obtenus étant relativement éloignés de la courbe u_C(t), on peut remarquer qu'avec le pas choisi, la méthode d'Euler donne une approche assez grossière de cette courbe.