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Exercice 6C

Enoncé :

Un défibrillateur externe est l'appareil utilisé pour appliquer des chocs électriques à un patient dont le coeur est en fibrillation (contraction désordonnée des fibles musculaires).

Le texte ci-dessous décrit les caractéristiques des appareils dits "à choc exponentiel tronqué".

Le circuit destiné à produire un choc exponentiel tronqué est constitué d'un condensateur de stockage d'énergie, du patient et d'un contacteur.

Pour générer un choc de 360 J, le condensateur est chargé à un niveau situé entre 1500 V et 2000 V, puis déchargé à travers la cage thoracique du patient durant une période de temps spécifiée.

Les spécifications des défibrillateurs externes sont généralement données pour une charge de 50 Ω.

On considère, dans cet exercice, un appareil pour lequel la tension de charge est 1,81 kV.

On appelle C la capacité du condensateur.

On assimilera la cage thoracique du patient à un conducteur ohmique de résistance 50 Ω.

Le contacteur est un interrupteur permettant de contrôler la durée de l'administration du choc.

1. La "charge" évoquée dans la dernière phrase du texte est-elle celle du condensateur ?

. . .Sinon, que peut désigner ici ce terme ?

2. Calculer la valeur de la capacité minimale C_min du condensateur à utiliser pour délivrer une énergie de 360 J.

3. L'expression de la tension aux bornes du condensateur au cours du choc étant de la forme u_C(t) = A . e^-`t/(RC)`, préciser la valeur de A.

4. On rappelle qu'un condensateur est considéré comme déchargé au bout de la durée t = 5 RC.

. . .Calculer la valeur de la durée t nécessaire pour délivrer une énergie de 360 J, pour C = C_min.

5. Etablir, en fonction du temps, l'expression de l'intensité i du courant de décharge.

. . .Calculer la valeur absolue de la valeur maximale atteinte par l'intensité au cours du choc.

. . .Cette valeur dépend-elle de la capacité du condensateur ?

6. Calculer la valeur de l'intensité, 11 ms après le début du choc, pour C = C_min.

7. Que peut-on modifier afin que l'intensité diminue moins vite au cours du choc, pour le même patient ?

8. La capacité du condensateur utilisé est 1,00 mF. Le contacteur ouvre le circuit dès qu'une énergie de 360 J a été délivrée.

8.a. Déterminer la tension aux bornes du condensateur et l'intensité du courant lors de l'ouverture du circuit.

8.b. Déterminer la durée de fermeture du circuit.

8.c. Expliquer l'origine du terme "choc exponentiel tronqué".

Solution :

Pour ceux qui ne savant pas ce qu'est un défibrillateur voici une présentation de cet appareil trouvée sur le site de la fédération nationale des Sapeurs-Pompiers de France.

1. Dans le texte cité, la charge signifie la résistance électrique du thorax du patient.

2. L'énergie stoquée dans un condensateur est E = ½ C_min U²

. . .D'où : . . .C_min = 2 . `E/(U^2)`

. . .A.N. : . . .C_min = 2 . `(360)/(1810^2)` = 2,20 . 10^-4 F = 220 µF.

Sachant que la tension U est égale à 1,81 kV, il faut un condensateur de capacité minimale 220 µF pour pouvoir stoquer une énergie de 360 J.

3. u_C (0) = A . e⁰ = A

. . .Or à t = 0, on a : . . .u_C = 1,81 kV ; . . .donc : . . .A = 1,81 kV.

4. La durée nécessaire pour délivrer au moins 99% de l'énergie du condensateur est égale à t = 5 RC.

. . .A.N. : . . .t = 5 . 2,20 . 10^-4 . 50 = 0,055 s = 55 ms.

5. D'après les relations charge-intensité et charge-tension : i = `(dq)/(dt)` = C . `(du_C)/(dt)`

. . .D'où : . . .i = C . A . (-`1/(RC)`) . e^-t/RC = - `A/R` . e^-t/RC

En valeur absolu, l'intensité du courant la plus grande est obtenue à t = 0,

. . .D'où : . . .| i | = `A/R`

. . .A.N. : . . .| i | = `(1810)/(50)` = 36,2 A.

L'expression i = - `A/R` . e^-t/RC montre que i est indépendant de C mais dépend de la tension initiale A.

6. Remarquons d'abord que τ = RC = 11 ms.

Au bout de 11 ms, il reste donc 37% de la tension initiale (63% de la décharge est réalisée)

. . .Donc, à t = τ = RC, on a : . . .| i | = `A/R` . e^-RC/RC = `A/R` . e^-1 = `A/(R.e)`

. . .A.N. : . . .| i | = `(1810)/(50 . e)` = 13,3 A.

7. Pour que l'intensité du courant de décharge diminue moins rapidement, il faut augmenter la constante de temps du dipôle RC. On peut donc augmenter la capacité C du condensateur utilisé.

8.a. On utilise maintenant un condensateur de capacité C = 1 mF chargé avec la tension 1,81 kV.

L'énergie (initiale) stoquée dans ce condensateur est E_i = ½ C U²

. . .A.N. : . . .E_i = ½ . 1,00 . 10^-3 . 1810² = 1,64 kJ.

L'énergie (finale) restant après avoir délivré 360 J est donc : E_f = E_i - 360

. . .A.N. : . . .E_f = 1,64 - 0,360 = 1,28 kJ.

La tension U_f correspondant à l'énergie E_f est telle que : E_f = ½ C U_f²

. . .D'où : . . .U_f = ` sqrt((2 . E_f)/C)`

. . .A.N. : . . .U_f = ` sqrt((2 . 1278)/(0,001))` = 1,60 kV

L'intensité du courant i_f, lors de l'ouverture du circuit, est donc telle que i_f = `(U_f)/R`

. . .A.N. : . . .i_f = `(1600)/(50)` = 32,0 A.

Remarque : Avec le condensateur de capacité C_min = 220 µF, l'intensité du courant chutait de 36,2 à 13,3 A au cours du choc de 360 J.

Alors qu'avec le condensateur de capacité C = 1,00 mF, l'intensité du courant ne chute que de 36,2 à 32 A, au cours du choc de 360 J. Avec ce condensateur on a pratiquement un courant d'intensité constante au cours du choc.

8.b. La durée t du choc électrique est telle que : U_f = A . e^-t/RC

. . .D'où : . . .e^-t/RC = `(U_f)/A`

. . .D'où : . . .e^t/RC = `A/(U_f)`

. . .D'où : . . .`t/(RC)` = Ln(`A/(U_f)`)

. . .D'où : . . .t = RC . Ln(`A/(U_f)`)

. . .A.N. : . . .t = 50 . 0,001 . Ln(`(1810)/(1600)`) = 6,2 ms.

Remarque : la durée du choc est plus courte car l'intensité moyenne du courant est plus élevée.

8.c. Avec un condensateur de capacité C_min = 220 µF, il faut que le condensateur se décharge complètement pour avec les 360 J. Il faut donc réaliser toute la décharge exponentielle du condensateur.

Alors qu'avec un condensateur de capacité C = 1,00 mF, la décharge exponentielle du condensateur sera stoppée (tronquée) dès que les 360 J auront été délivrés.

Voici la fiche virtuelle trouvée sur Wikipédia donnant des indications sur le fonctionnement et l'utilisation d'un défibrillateur.

Et voici une fiche virtuelle proposée par un site du Samu (Samu83) à propos des défibrillateurs.

Voici enfin, une fiche virtuelle proposée par Wikipédia à propos des condensateurs.

Exercice 6C

Enoncé :

Un défibrillateur externe est l'appareil utilisé pour appliquer des chocs électriques à un patient dont le coeur est en fibrillation (contraction désordonnée des fibles musculaires).

Le texte ci-dessous décrit les caractéristiques des appareils dits "à choc exponentiel tronqué".

Le circuit destiné à produire un choc exponentiel tronqué est constitué d'un condensateur de stockage d'énergie, du patient et d'un contacteur.

Pour générer un choc de 360 J, le condensateur est chargé à un niveau situé entre 1500 V et 2000 V, puis déchargé à travers la cage thoracique du patient durant une période de temps spécifiée.

Les spécifications des défibrillateurs externes sont généralement données pour une charge de 50 Ω.

On considère, dans cet exercice, un appareil pour lequel la tension de charge est 1,81 kV.

On appelle C la capacité du condensateur.

On assimilera la cage thoracique du patient à un conducteur ohmique de résistance 50 Ω.

Le contacteur est un interrupteur permettant de contrôler la durée de l'administration du choc.

1. La "charge" évoquée dans la dernière phrase du texte est-elle celle du condensateur ?

. . .Sinon, que peut désigner ici ce terme ?

2. Calculer la valeur de la capacité minimale Cmin du condensateur à utiliser pour délivrer une énergie de 360 J.

3. L'expression de la tension aux bornes du condensateur au cours du choc étant de la forme uC(t) = A . e-`t/(RC)`, préciser la valeur de A.

4. On rappelle qu'un condensateur est considéré comme déchargé au bout de la durée t = 5 RC.

. . .Calculer la valeur de la durée t nécessaire pour délivrer une énergie de 360 J, pour C = Cmin.

5. Etablir, en fonction du temps, l'expression de l'intensité i du courant de décharge.

. . .Calculer la valeur absolue de la valeur maximale atteinte par l'intensité au cours du choc.

. . .Cette valeur dépend-elle de la capacité du condensateur ?

6. Calculer la valeur de l'intensité, 11 ms après le début du choc, pour C = Cmin.

7. Que peut-on modifier afin que l'intensité diminue moins vite au cours du choc, pour le même patient ?

8. La capacité du condensateur utilisé est 1,00 mF. Le contacteur ouvre le circuit dès qu'une énergie de 360 J a été délivrée.

8.a. Déterminer la tension aux bornes du condensateur et l'intensité du courant lors de l'ouverture du circuit.

8.b. Déterminer la durée de fermeture du circuit.

8.c. Expliquer l'origine du terme "choc exponentiel tronqué".

Solution :

Pour ceux qui ne savant pas ce qu'est un défibrillateur voici une présentation de cet appareil trouvée sur le site de la fédération nationale des Sapeurs-Pompiers de France.

1. Dans le texte cité, la charge signifie la résistance électrique du thorax du patient.

2. L'énergie stoquée dans un condensateur est E = ½ Cmin U2

. . .D'où : . . .Cmin = 2 . `E/(U^2)`

. . .A.N. : . . .Cmin = 2 . `(360)/(1810^2)` = 2,20 . 10-4 F = 220 µF.

Sachant que la tension U est égale à 1,81 kV, il faut un condensateur de capacité minimale 220 µF pour pouvoir stoquer une énergie de 360 J.

3. uC (0) = A . e0 = A

. . .Or à t = 0, on a : . . .uC = 1,81 kV ; . . .donc : . . .A = 1,81 kV.

4. La durée nécessaire pour délivrer au moins 99% de l'énergie du condensateur est égale à t = 5 RC.

. . .A.N. : . . .t = 5 . 2,20 . 10-4 . 50 = 0,055 s = 55 ms.

5. D'après les relations charge-intensité et charge-tension : i = `(dq)/(dt)` = C . `(du_C)/(dt)`

. . .D'où : . . .i = C . A . (-`1/(RC)`) . e-t/RC = - `A/R` . e-t/RC

En valeur absolu, l'intensité du courant la plus grande est obtenue à t = 0,

. . .D'où : . . .| i | = `A/R`

. . .A.N. : . . .| i | = `(1810)/(50)` = 36,2 A.

L'expression i = - `A/R` . e-t/RC montre que i est indépendant de C mais dépend de la tension initiale A.

6. Remarquons d'abord que τ = RC = 11 ms.

Au bout de 11 ms, il reste donc 37% de la tension initiale (63% de la décharge est réalisée)

. . .Donc, à t = τ = RC, on a : . . .| i | = `A/R` . e-RC/RC = `A/R` . e-1 = `A/(R.e)`

. . .A.N. : . . .| i | = `(1810)/(50 . e)` = 13,3 A.

7. Pour que l'intensité du courant de décharge diminue moins rapidement, il faut augmenter la constante de temps du dipôle RC. On peut donc augmenter la capacité C du condensateur utilisé.

8.a. On utilise maintenant un condensateur de capacité C = 1 mF chargé avec la tension 1,81 kV.

L'énergie (initiale) stoquée dans ce condensateur est Ei = ½ C U2

. . .A.N. : . . .Ei = ½ . 1,00 . 10-3 . 18102 = 1,64 kJ.

L'énergie (finale) restant après avoir délivré 360 J est donc : Ef = Ei - 360

. . .A.N. : . . .Ef = 1,64 - 0,360 = 1,28 kJ.

La tension Uf correspondant à l'énergie Ef est telle que : Ef = ½ C Uf2

. . .D'où : . . .Uf = ` sqrt((2 . E_f)/C)`

. . .A.N. : . . .Uf = ` sqrt((2 . 1278)/(0,001))` = 1,60 kV

L'intensité du courant if, lors de l'ouverture du circuit, est donc telle que if = `(U_f)/R`

. . .A.N. : . . .if = `(1600)/(50)` = 32,0 A.

Remarque : Avec le condensateur de capacité Cmin = 220 µF, l'intensité du courant chutait de 36,2 à 13,3 A au cours du choc de 360 J.

Alors qu'avec le condensateur de capacité C = 1,00 mF, l'intensité du courant ne chute que de 36,2 à 32 A, au cours du choc de 360 J. Avec ce condensateur on a pratiquement un courant d'intensité constante au cours du choc.

8.b. La durée t du choc électrique est telle que : Uf = A . e-t/RC

. . .D'où : . . .e-t/RC = `(U_f)/A`

. . .D'où : . . .et/RC = `A/(U_f)`

. . .D'où : . . .`t/(RC)` = Ln(`A/(U_f)`)

. . .D'où : . . .t = RC . Ln(`A/(U_f)`)

. . .A.N. : . . .t = 50 . 0,001 . Ln(`(1810)/(1600)`) = 6,2 ms.

Remarque : la durée du choc est plus courte car l'intensité moyenne du courant est plus élevée.

8.c. Avec un condensateur de capacité Cmin = 220 µF, il faut que le condensateur se décharge complètement pour avec les 360 J. Il faut donc réaliser toute la décharge exponentielle du condensateur.

Alors qu'avec un condensateur de capacité C = 1,00 mF, la décharge exponentielle du condensateur sera stoppée (tronquée) dès que les 360 J auront été délivrés.

Voici la fiche virtuelle trouvée sur Wikipédia donnant des indications sur le fonctionnement et l'utilisation d'un défibrillateur.

Et voici une fiche virtuelle proposée par un site du Samu (Samu83) à propos des défibrillateurs.

Voici enfin, une fiche virtuelle proposée par Wikipédia à propos des condensateurs.

2. Calculer la valeur de la capacité minimale C_min du condensateur à utiliser pour délivrer une énergie de 360 J.

3. L'expression de la tension aux bornes du condensateur au cours du choc étant de la forme u_C(t) = A . e^-`t/(RC)`, préciser la valeur de A.

. . .Calculer la valeur de la durée t nécessaire pour délivrer une énergie de 360 J, pour C = C_min.

6. Calculer la valeur de l'intensité, 11 ms après le début du choc, pour C = C_min.

2. L'énergie stoquée dans un condensateur est E = ½ C_min U²

. . .D'où : . . .C_min = 2 . `E/(U^2)`

. . .A.N. : . . .C_min = 2 . `(360)/(1810^2)` = 2,20 . 10^-4 F = 220 µF.

3. u_C (0) = A . e⁰ = A

. . .Or à t = 0, on a : . . .u_C = 1,81 kV ; . . .donc : . . .A = 1,81 kV.

. . .A.N. : . . .t = 5 . 2,20 . 10^-4 . 50 = 0,055 s = 55 ms.

. . .D'où : . . .i = C . A . (-`1/(RC)`) . e^-t/RC = - `A/R` . e^-t/RC

L'expression i = - `A/R` . e^-t/RC montre que i est indépendant de C mais dépend de la tension initiale A.

. . .Donc, à t = τ = RC, on a : . . .| i | = `A/R` . e^-RC/RC = `A/R` . e^-1 = `A/(R.e)`

L'énergie (initiale) stoquée dans ce condensateur est E_i = ½ C U²

. . .A.N. : . . .E_i = ½ . 1,00 . 10^-3 . 1810² = 1,64 kJ.

L'énergie (finale) restant après avoir délivré 360 J est donc : E_f = E_i - 360

. . .A.N. : . . .E_f = 1,64 - 0,360 = 1,28 kJ.

La tension U_f correspondant à l'énergie E_f est telle que : E_f = ½ C U_f²

. . .D'où : . . .U_f = ` sqrt((2 . E_f)/C)`

. . .A.N. : . . .U_f = ` sqrt((2 . 1278)/(0,001))` = 1,60 kV

L'intensité du courant i_f, lors de l'ouverture du circuit, est donc telle que i_f = `(U_f)/R`

. . .A.N. : . . .i_f = `(1600)/(50)` = 32,0 A.

Remarque : Avec le condensateur de capacité C_min = 220 µF, l'intensité du courant chutait de 36,2 à 13,3 A au cours du choc de 360 J.

8.b. La durée t du choc électrique est telle que : U_f = A . e^-t/RC

. . .D'où : . . .e^-t/RC = `(U_f)/A`

. . .D'où : . . .e^t/RC = `A/(U_f)`

8.c. Avec un condensateur de capacité C_min = 220 µF, il faut que le condensateur se décharge complètement pour avec les 360 J. Il faut donc réaliser toute la décharge exponentielle du condensateur.