Exercice 6B

Enoncé :

 

Un condensateur de capacité C est initialement chargé sous une tension U.

A l'instant t = 0, on relie ses bornes à celles d'un conducteur ohmique de résistance R.

 

a. L'évolution de la tension aux bornes du condensateur étant décrite par la fonction du temps u_C(t), établir l'équation différentielle vérifiée par cette fonction.

b. Montrer que cette équation différentielle admet des solutions de la forme : A . e^-`λ`t.

. . .Préciser l'expression de `λ` en fonction des grandeurs caractéristiques du circuit.

c. Déterminer complètement l'expression de u_C(t) dans le cas étudié.

d. Déterminer, en fonction de R et C, la date t à laquelle la charge du condensateur a diminué de 99 % par rapport à sa valeur initiale.

e. Déterminer, en fonction de U, R et C, l'équation de la tangente à la courbe u_C(t) à l'instant t = 0.

. . .Vérifier que cette tangente coupe la droite d'équation u = 0 à l'abscisse t = `τ`.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

a. A t=0, on relie les bornes du condensateur chargé à celles du conducteur ohmique.

Considérons le circuit suivant :

 

 

En utilisant les notations du schéma précédent, on a :

u_AB + u_DE = 0

. . .Or :. . .u_c = u_AB

Avec l'orientation choisie pour i, la loi d'Ohm s'écrit : u_DE = R i (convention récepteur)

. . .d'où :

u_c + R i = 0

La relation charge-courant s'écrivant : . . .i = `(dq)/(dt)`, . . .on obtient :

u_c + R `(dq)/(dt)` = 0

La relation charge-tension s'écrivant : . . .q = C u_c, . . .on obtient l'équation différentielle :

u_c + RC `(du_c)/(dt)` = 0 . . . . . (1)

 

b. Vérifions que u_c(t) = A e^-`λ`t est solution de l'équation (1) :

Si u_c(t) = A e^-`λ`t, on a alors, `(du_c)/(dt)` = `(d(A.e^(-λt)))/(dt)` = A `(d(e^(-λt)))/(dt)` = A .(-`λ`) . e^-`λ`t = (-`λ`) . A e^-`λ`t = (-` λ`) . u_c(t)

L'équation (1) donne donc : u_c(t) + RC . (- `λ`) . u_c(t) = 0

d'où : u_c(t) . [ 1 + RC . (- `λ`) ] = 0

La tension u_c(t) n'étant pas toujours nulle, cette équation ne peut être juste que si : 1 + RC . (- `λ`) = 0

d'où : `λ = 1/(RC)`

La solution de l'équation (1) s'écrit donc : u_c(t) = A . `e^(-(t/(RC)))`.

 

c. Pour trouver la valeur de A, écrivons qu'à t = 0, on a : u_c = A . `e^(-(0/(RC))) = A.

. . .Or, d'après l'énoncé à t = 0, on a : . . .u_c = U.

. . .D'où : . . .A = U.

La solution de l'équation (1) est donc :

u_c(t) = U . `e^(-(t/(RC)))`.

 

d. La charge du condensateur aura diminué de 99%, lorsque la tension u_c aura diminué de 99%, soit lorsque :

u_c(t) = U . `e^(-(t/(RC)))` = `1/(100)` . U

. . .D'où : . . .`e^(-(t/(RC)))` = `1/(100)`

. . .D'où : . . .`e^((t/(RC)))` = 100

La fonction ln étant la fonction inverse de la fonction exponentielle, on a : `(t/(RC))` = ln (100)

. . .D'où : . . .t = ln (100) . RC

. . .Or :. . .ln (100) = 4,6

. . .D'où : . . .t = 4,6 RC.

Remarque : On a approximativement t = 5 RC.

 

e. L'équation de la tangente à la courbe u_c(t) étant donnée par la dérivée `(du_c)/(dt)`, cherchons son expression :

D'après l'équation (1), on a :

`(du_c)/(dt)` = - `(u_c)/(RC)`

. . .Or, à t = 0, on a : . . .u_c = U,

. . .D'où :

`(du_c)/(dt)` = - `U/(RC)`

On peut donc écrire :

`(du_c)/(dt)` = `(Δu_c)/(Δt)` = - `U/(RC)`

. . .soit Δu_c = -U pour Δt = τ = RC.

On peut donc affirmer que la tangente à l'origine à la corbe u_c(t) coupe l'axe des abscisses au point t = τ = RC.