Exercice 4C

Enoncé :

 

Le carbone 14 formé dans la haute atmosphère s'oxyde en gaz carbonique ¹⁴CO₂. Il est fixé par les plantes par photosynthèse, puis dans les os et les tissus des animaux. La proportion de noyaux de carbone 14 présents dans un organisme est constant pendant toute sa vie.

A la mort des végétaux et des animaux, aucun nouveau noyau de carbone 14 n'est plus fixé. La quantité de carbone 14 présente dans un organisme mort, décroît alors par désintégration radioactive. Ainsi la proportion de noyaux de carbone 14 présents dans un organisme mort décroît.

Le dosage du carbone 14 présent, dans un morceau de bois ou dans un os, permet de dater la mort de la plante ou de l'animal.

 

Données :

. . . Dans un organisme vivant, le rapport des nombres de noyaux carbone 14/carbone 12 vaut 1,3 . 10^-12.

. . . on estime que la datation est possible tant que le rapport des nombres de noyaux carbone 14/carbone 12 est supérieur à 1,0 . 10^-14.

. . . La valeur de la demi-vie des noyaux de carbone 14 est t_½ = 5,7 . 10³ ans.

 

Calculer la valeur de l'âge limite d'un objet daté avec le carbone 14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

Le carbone 14 se désintègre en azote 14 selon l'équation :

¹⁴₆C —> ¹⁴₇N + ⁰_-1e

 

Soit N₀ le nombre initial de noyaux radioactifs de carbone 14.

Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs de carbone 14 à l'instant t.

La loi de décroissance radioactive du carbone 14, nous permet d'écrire :

N(t) = N₀ e^{- λ t}.

 

Soit N₀' le nombre initial de noyaux de carbone 12.

Le carbone 12 n'étant pas radioactif, à un instant t quelconque, le nombre de noyaux de carbone 12 reste égal à N₀'.

 

Soit r, le rapport du nombre de noyaux de carbone 14 sur le nombre de noyaux de carbone 12 :

 

r = `(N_0 * e^(-λ t))/( N_0')` = `(N_0)/(N_0')` . e ^{- λ t} = 1,3 . 10^-12 . e ^{- λ t}

 

La limite de l'utilisation de cette méthode de datation est atteinte pour un rapport r = 1,0 . 10^-14;

soit :

1,3 . 10^-12 . e ^{- λ t} = 1,0 . 10^-14;

d'où :

e ^{- λ t} = `(1,0 * 10^-14)/(1,3 * 10^-12)` = 7,7 . 10^-3

d'où :

e ^{λ t} = `1/(0,0077)` = 130

d'où :

λ t= ln 130

 

Or :

λ t_½= ln 2

 

D'où :

t = `(ln 130)/(ln 2)` . t_½

A.N. :

t = `(ln 130)/(ln 2)` . 5,7 . 10³ = 40 . 10³ ans.

 

La datation au carbone 14 ne permet que de dater des objets (bois ou os) ayant moins de 40 mille ans.