Exercice 4B
Enoncé :
Un compteur Geiger-Müller, placé près d'un échantillon radioactif ne contenant qu'un seul type d'isotopes, détecte en moyenne 500 désintégrations par minute.
24 heures plus tard, placé dans les mêmes conditions, le compteur détecte en moyenne 320 désintégrations par minute.
a. Calculer la valeur de la demi-vie des noyaux radioactifs.
b. Calculer la valeur de la constante radioactive de l’isotope étudié.
c. Calculer le nombre de noyaux radioactifs présents initialement dans l’échantillon étudié.
Solution :
Avant de commencer la résolution de l'exercice, voici la page concernant le Compteur Geiger-Müller trouvée sur Wikipédia, et une page plus explicative trouvée sur le site canadien de Cyberscol.
Rappels :
. . . - l'activité d'un échantillon radioactif est telle que : A(t) = λ N(t).
. . . - la loi de décroissance radioactive s'écrit : N(t) = N0 . e-λt
a. L'activité d'un échantillon radioactif est telle que :
A(t) = λ . N0 . e-λt = A0 . e-λt
D'où :
e-λt= `(A(t))/(A_0)`
D'où :
eλt= `(A_0)/(A(t))`
D'où :
λ . t= ln(`(A_0)/(A(t))`)
. . . A.N. :
λ . t= ln(`(500)/(320)`). . .(1)
Or, la demi-vie d'un élément radioactif est telle que :
λ . t½ = ln 2. . .(2)
A partir des relations (1) et (2), on obtient :
`(t_(½))/t` = `(ln 2)/(ln ((500)/(320)))`
D'où :
t½ = t . `(ln 2)/(ln ((500)/(320)))`
. . . A.N. : . . . t½ = 24 . `(ln 2)/(ln ((500)/(320)))` = 24 . `(0,693)/(0,446)` = 37 heures
. . . d'où : . . . t½ = 37 . 60 = 2,2 . 103 min
. . . d'où : . . . t½ = 37 . 3600 = 1,33 . 105 s.
b. D'après la relation (2), on a : . . λ . t½ = ln 2.
. . . D'où : . . . λ = `(ln 2)/(t_(½))`
. . . A.N. : . . . λ = `(ln 2)/(1,33 * 10^5)` = 5,2 . 10-6 s-1
. . . ou bien : . . . λ = `(ln 2)/(2,2 * 10^3)` = 3,2 . 10-4 min-1
. . . ou bien : . . . λ = `(ln 2)/(37)` = 1,87 . 10-2 h-1.
c. Le nombre de noyaux radioactifs est donné par la relation : . . A(t) = λ N(t)
. . . d'où : . . . A0 = λ N0
. . . d'où : . . . N0 = `(A_0)/(λ)`
Pour appliquer cette relation il faut exprimer la constante λ en s-1 et l'activité dans l'unité habituelle : le becquerel (nombre de désintégrations par seconde).
. . . Or : . . . A0 = 500 désintégrations par minute = `(500)/(60)` = 8,3 désintégrations par seconde = 8,3 Bq.
. . . A.N. : . . . N0 = `(8,3)/(5,2 * 10^-6)` = 1,60 . 106 noyaux.
