Exercice 4A

 

Enoncé :

 

L'isotope ³²₁₅P du phosphore est un émetteur β^- radioactif.

 

1.a. Ecrire l'équation de la désintégration de cet isotope du phosphore sachant qu'il donne un isotope du soufre.

1.b. Calculer la valeur de la constante radioactive λ de cet isotope du phosphore sachant que la valeur de sa demi-vie est égale à 14,3 jours.

2.a. Donner l'expression de l'activité A d'un échantillon en fonction du nombre de noyaux radioactifs qu'il contient.

2.b. Calculer la valeur de la masse d'un échantillon de phosphore 32 pur ayant une activité de 1,20 . 10¹⁶ Bq.

2.b. Calculer la valeur de la masse de phosphore 32 restant dans cet échantillon au bout de 40,0 jours.

Données : la masse atomique du phosphore 32 est m_at = 5,31 . 10^-26 kg.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

1.a. Le phosphore ³²P est radioactif, émetteur β^-, c'est-à-dire émetteur d'électron.

L'équation de la désintégration s'écrit :

³²₁₅P —> ^A_ZX + ⁰_-1e

Calculons A et Z avec les lois de conservation.

. . . Conservation du nombre de nucléons : 32 = A + 0 , soit A = 32.

. . . Conservation de la charge : 15 = Z + (-1) , soit Z = 15 + 1 = 16.

L'isotope formé est donc ³²₁₆S, (c'est bien un isotope du soufre, comme l'énoncé le spécifie).

 

1.b. La demi-vie d'un élément radioactif est telle que : λ t_½ = Ln 2

. . . La constante radioactive λ est donc telle que : λ = `(Ln 2)/(t_½)`

Remarque : si on exprime la demi-vie en jour, on obtient la constante radioactive λ en jour^-1;

. . . et si on exprime la demi-vie en seconde, on obtient la constante radioactive λ en s^-1.

. . . A.N. (en jour) : . . . λ = `(Ln 2)/(14,3)` = 4,85 . 10^-2 jour^-1

. . . A.N. (en seconde) : . . . λ = `(Ln 2)/(14,3 x 24 x 3600)` = 5,61 . 10^-7 s^-1

 

2.a. L'activité d'un échantillon radioactif est telle que : A(t) = λ N(t).

 

2.b. Le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon est donc : N(t) = `(A(t))/(λ)`

Calculons le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant t = 0 tel que N₀ = `(A_0)/(λ)`

. . . A.N. : . . . N₀ = `(1,20 . 10^16)/(5,61 . 10^-7)` = 2,14 . 10²² noyaux.

Remarque 1: l'activité étant exprimée en Becquerel (c'est-à-dire : par seconde !), il faut que la constante radioactive λ soit exprimée en s^-1.

Remarque 2 : le nombre d'atome de phosphore 32 est égal au nombre de noyaux de phosphore 32.

La masse des atomes radioactifs présents est donc : m₀ = N₀ . m_at , où m_at est la masse d'un atome.

. . . A.N. : . . . m₀ = 2,14 . 10²² . 5,31 . 10^-26 = 1,14 . 10^-3 kg = 1,14 g.

 

2.c. Calculons le nombre de noyaux présents au bout de 40,0 jours à l'aide de la relation N(t) = N₀ . e^-λt.

Remarque 1 : dans cette relation, nous pouvons soit exprimer t et λ en jour et jour^-1, soit les exprimer en s et s^-1.

. . . A.N. : . . . N(t) = 2,14 . 10²² . e^{- 0,0485 . 40,0} = 3,08 . 10²¹ noyaux.

Remarque 2 : on aurait obtenu le même résultat en prenant λ = 5,61 . 10^-7 s^-1 et t = 40,0 x 24 x 3600 s.

La masse de phosphore 32 est donc : m(t) = N(t) . m_at.

. . . A.N. : . . . m(t) = 3,08 . 10²¹ . 5,31 . 10^-26 = 1,64 . 10^-4 kg = 0,164 g.

 

Sur le site du CEA, vous pourrez trouver une description de l'atome et l'histoire de sa découverte.