Exercice 2C

 

Exercice sans calculatrice

 

Enoncé :

 

Un vibreur impose à l’extrémité S d’une corde une perturbation sinusoïdale de période T.

On appelle v la célérité des ondes mécaniques le long de la corde.

L’altitude (en mètre) du point M d’abscisse x est donné par la relation :

y_M = 0,04 sin ( 200 π (t – 0,50 x)).

a) Donner l’amplitude de la perturbation.

b) Donner la période T de la perturbation, sachant lors d'une perturbation sinusoïdale, l'élongation d'un point peut s'écrire :

y_M = A sin ( `(2 Π t)/T` + φ)

c) Trouver la relation donnant le déplacement y_S de la source S de la perturbation.

d) Exprimer, en fonction de l’abscisse x, le retard t_R de la perturbation.

e) Calculer la célérité v de la perturbation.

f) Calculer la longueur d’onde de la perturbation.

g) Calculer la distance entre S et les 2 premiers points en opposition de phase avec S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

a) L'amplitude de la perturbation est 0,04 m soit 4 cm.

b) Lors d'une perturbation sinusoïdale, l'élongation d'un point peut s'écrire : y_M = A sin ( `(2 Π t)/T` + φ)

. . Or ici, on a : . . y_M = 0,04 sin (200Π (t - 0,50 x))

Par identification, on peut écrire que 200Π t = `(2 Π t)/T`

. . D'où : . . T = `1/(100)` = 1,00 . 10^-2 s = 10,0 ms.

c) L'élongation de la source est y_S = 0,04 sin (200Π (t - 0)) = 0,04 sin (200 Π t)

. . car pour la source x = 0.

d) Soit t_R le retard avec lequel la perturbation partie de la source à l'instant t, arrive au point M d'abscisse x.

A l'instant t, le point M a la même élongation que la source à l'instant (t - t_R),

. . ce qui s'écrit : . . y_M(t) = y_S(t - t_R)

. . d'où : . . 0,04 sin (200 Π (t - 0,50 x)) = 0,04 sin (200 Π (t - t_R))

. . d'où : . . t_R = 0,50 x.

e) Le retard t_R est le temps nécessaire à la perturbation pour parcourir la distance x à la vitesse v,

. . d'où : . . x = v . t_R , ou bien v = `x/(t_R)`

Or t_R = 0,50 x, d'après la question précédente,

. . d'où : . . v = `x/(0,50 x)` = `1/(0,50)` = 2,0 m.s^-1.

f) Par définition, la longueur d'onde λ est : λ = v . T

. . A.N. : . . λ = 2,0 . 1,00 . 10^-2 = 2,0 . 10^-2 m = 2,0 cm.

g) Sachant que les points séparés de (2k+1) demi-longueur d'onde vibrent en opposition de phase, les 2 premiers points vibrant en opposition de phase avec la source sont distants de 1 et 3 demi-longueurs d'onde ;

ces 2 points sont donc à 1,0 cm et à 3,0 cm de S.