Exercice 1C

 

Enoncé :

 

On admet que la célérité d'une onde transversale le long d'une corde de masse linéïque μ tendue par une tension T est donnée par la relation : v = `sqrt{(T/μ)}`.

Remarque : la masse linéïque μ est égale à la masse d'un mètre de la corde (ou masse par unité de longueur).

 

a) Calculer la valeur de la célérité pour une lourde corde, de masse m = 18OO g et de longueur L = 30 m, si la valeur de la tension est T = 360 N.

b) Cette corde pend librement, accrochée sous un toit. Exprimer, pour un point M de la corde situé à l'abscisse x comptée à partir du point d'accrochage, la célérité v_x en ce point en fonction de m, L, x et g.

c) Calculer la valeur de la célérité à chaque extrémité de la corde.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 

a) La masse linéique de la corde est `µ = m/L`

Remarque : en physique, l'unité de masse est le kilogramme.

. . . . A.N. `µ = (1,800)/30`= 0,060 kg.m^-1.

. . . . Or `v = sqrt{(T/µ)}`

. . . . A.N. `v = sqrt{(360/(0,060))}` = 77 m.s^-1  .

 

b) Lorsque la corde est accrochée sous un toit, la tension de la corde n'est pas la même en tout point.

On fera l'hypothèse que la tension en un point est égale au poids de la corde située sous ce point.

Si x est l'abscisse d'un point quelconque, la longueur de corde située sous ce point est L-x. Si m est la masse de l'ensemble de la corde, la masse de la partie de corde sous le point d'abscisse x est `m/L` . (L-x) soit µ . (L-x).

Le poids de cette partie de corde est donc µ . (L-x) . g.

. . . . D'où T = µ . (L-x) . g

. . . . D'où `T/µ = (L-x) . g `

. . . . et `v = sqrt{(T/µ)} = sqrt{(L-x).g}`

 

c) Calculons la célérité de l'onde aux extrémités de la corde (x = 0 et x = 30 m ).

. . . . A.N. pour x = 0 on a `v = sqrt((30-0 ). (9,8 )) = 17` m.s^-1  .

. . . . A.N. pour x = 30 m on a `v = sqrt((30-30 ). (9,8 )) = 0` m.s^-1  .

Donc, ici, la célérité des ondes n'est pas constante le long de la corde.