D.S.3 du 07/12/10

 

Exercice 1

 

a) L'équation de désintégration radioactive β^- de l'iode 131 s'écrit :

`{::}_53^131`I . .—> . .`{::}_Z^A`X' . .+ . .`{::}_-1^0`e

La conservation du nombre de nucléons s'écrit :

131 = A + 0

. . . . . D'où :

A = 131

La conservation de la charge s'écrit :

53 = Z - 1

. . . . . D'où :

Z = 54

. . . . . L'élément obtenu est donc du xénon.

L'équation de désintégration radioactive β^- de l'iode 131 s'écrit donc :

`{::}_53^131`I . .—> . .`{::}_54^131`Xe . .+ . .`{::}_-1^0`e

 

b) L'iode est fixé dans la thyroïde par une réaction chimique.

Remarque : Lors des incidents dans les centrales nucléaires, il y a souvent un rejet d'iode radioactif dans l'atmosphère. Or la thyroïde fixe l'iode présent dans l'organisme. Pour éviter les contaminations dues à l'iode radioactif, les personnes vivant au voisinage d'une centrale nucléaire ont reçu des comprimés d'iodure de potassium à consommer en cas de fuite radioactive, afin de saturer la thyroïde en iode non radioactif. Ainsi, si ces personnes respirent de l'iode radioactif, cet iode ne sera pas fixé par la thyroïde.

 

c) La demi-vie t_½ est le temps au bout duquel le nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon est divisé par 2.

La demi-vie d'un isotope ne peut être modifiée par aucun des paramètres cités.

 

d) Le nombre N₀ de noyaux radioactifs présents dans un échantillon d'iode de masse m₀ est :

N₀ = `(m_0)/M` . N_A

. . . . . A.N. : . .N₀ = `(1,000)/(131)` . 6,02 . 10²³ = 4,60 . 10²¹ atomes.

. . . . . D'où : . .N₀ = 4,60 . 10²¹ noyaux radioactifs.

 

e) L'activité d'un échantillon radioactif est donné par la relation : A₀ = `λ` . N₀

. . . . . Or :

`λ` . t_½ = ln 2

. . . . . D'où :

`λ` = `(ln 2)/(t_(½))`

. . . . . D'où :

A₀ = `(ln 2)/(t_(½))` . N₀

. . . . . A.N. : . .A₀ = `(ln2)/(8,1*24*3600)` . 4,60 . 10²¹ = 4,6 . 10¹⁵ Bq.

 

f) L'activité d'un échantillon est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents. Elle est donc proportionnelle à la masse de cet échantillon.

La masse m₁ d'iode à injecter est donc telle que : . . . . `(m_1)/(m_0)` = `(A_1)/(A_0)`

. . . . . D'où :

m₁ = m₀ . `(A_1)/(A_0)`

. . . . . A.N. : . .m₁ = 1,000 . `(37*10^6)/(4,6*10^15)` = 8,0 . 10^-9 g = 8,0 ng d'iode 131.

 

g) L'activité de l'échantillon est telle que :

A(t) = A₁ . e^-λt

. . . . . D'où :

e^-λt= `(A(t))/(A_1)` = `1/(100)`

. . . . . D'où :

e^λt= 100

. . . . . D'où :

λ . t = ln 100

 

Or, la demi-vie d'un élément radioactif est telle que :

λ . t_½ = ln 2

. . . . . D'où :

t = `(ln 100)/(ln 2)` . t_½

. . . . . A.N. : . . . t = `(ln 100)/(ln 2)` . 8,1 = 54 jours.

 

 

Exercice 2

 

1)a) Le noyau d'uranium 235 contient : 92 protons (Z = 92) et 143 neutrons (A - Z = 235 - 92 = 143).

 

 

1)b) Pour un noyau `{::}_92^235`U de masse m, constitué de 92 protons de masse m_p et 143 neutrons de masse m_n, le défaut de masse Δm est :

Δm = 92 . m_p + 143 . m_n – m

. . . . . A.N. :

. . . . . Δm = 92 . 1,00728 + 143 . 1,00866 – 234,99345 = 1,91469 u.

. . . . . Δm = 1,91469 . 1,66054 . 10^-27 = 3,1794 . 10^-27 kg.

 

1)c) L'énergie de liaison du noyau d'uranium 235 est :

E_l = Δm . c²

. . . . . A.N. :

. . . . . E_l = 3,1794 . 10^-27 . (2,9979 . 10⁸)² = 2,8575 . 10^-10 J.

. . . . . E_l = `(2,8575 . 10^-10)/(1,6022 . 10^-13)` = 1783,5 MeV.

 

2)a) L'équation de la réaction de fission s'écrit :

`{::}_92^235`U . . + . . `{::}_0^1`n . . —> . . `{::}_39^94`Y . . + . . `{::}_53^139`I . . + . . 3 `{::}_0^1`n ;

. . . . . Remarque : Il y a conservation de la charge (92 = 39 + 53) et conservation du nombre de nucléons (235 + 1 = 94 + 139 + 3).

 

2)b) La perte de masse Δm, lors de la réaction précédente est :

Δm = m_U + m_n – m_I – m_Y – 3 m_n

. . . . . D'où : Δm = m_U – m_I – m_Y – 2 m_n

. . . . . A.N. : Δm = 234,99345 – 138,89695 – 93,89014 – 2 . 1,00866 = 0,18904 u.

. . . . . A.N. : Δm = 0,18904 . 1,66054 . 10^-27 = 3,139 . 10^-28 kg.

L'énergie libérée lors de la fission d'un noyau d'uranium 235 est :

E_libérée = Δm . c²

. . . . . A.N. :

. . . . . E_libérée = 3,139 . 10^-28 . (2,9979 . 10⁸)² = 2,821 . 10^-11 J.

. . . . . E_libérée = `(2,821 . 10^-11)/(1,6022 . 10^-13)` = 176,1 MeV.

 

2)c) Calculons l'énergie libérée lors de la fission, à partir des énergies de liaison des différents noyaux.

Pour cela, décomposons la réaction en 2 étapes pour lesquelles nous connaissons le bilan énergétique :

`{::}_92^235`U . . + . . `{::}_0^1`n . . —> . . 92 `{::}_1^1`p . . + . . 144 `{::}_0^1`n . . —> . . `{::}_39^94`Y . . + . . `{::}_53^139`I . . + . . 3 `{::}_0^1`n ;

L'énergie libérée lors de la fission d'un noyau d'uranium 235 est :

E_libérée = E₁ + E₂

. . . . . Avec :

. . . . . E₁ : énergie libérée lors de la décomposition d'un noyau d'uranium en nucléons indépendants ;

. . . . . E₂ : énergie libérée lors de la formation des noyaux d'iode et d'yttrium à partir des nucléons.

. . . . . D'où :

. . . . . E₁ = - E_liaison(U) . . car (par définition) l'énergie de liaison est l'énergie à fournir pour décomposer un noyau en nucléons indépendants.

. . . . . . . . . . . Donc, E₁ = - 1783,5 MeV.

. . . . . E₂ = E_liaison(I) + E_liaison(Y) . . car l'énergie libérée lors de la formation des noyaux est égale à l'énergie à fournir pour décomposer ces noyaux en nucléons indépendants.

. . . . . . . . . . . Or : E_liaison(I) = 139 . 8,27 MeV.

. . . . . . . . . . . et : E_liaison(Y) = 94 . 8,62 MeV.

. . . . . . . . . . . D'où : E₂ = 139 . 8,27 + 94 . 8,62 MeV.

. . . . . A.N. :

. . . . . E_libérée = E₁ + E₂ = - 1783,5 + 139 . 8,27 + 94 . 8,62 = 176,3 MeV.

 

Remarque : Les 2 valeurs de l'énergie libérée par la réaction de fission, sont compatibles.